A STUDY OF STRESS CONCENTRATION IN MULTILINK PLATES BY THE METHOD OF BOUNDARY EQUATIONS

Рассмотрим упругое изотропное двумерное тело с внутренней областью Ω, ограниченной контуром Г. Предполагается, что на одной части границы  могут быть заданы напряжения, а на другую – перемещения. Решение двумерных задач в напряжениях сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия

(1)

вместе с условием совместности

(2)

и граничными условиями (рис. 1, в)

(3)

Здесь: γx, γy – компоненты объемной силы; ν0 = (1+ν) – в случае плоского напряженного состояния; ν0 = 1/(1-ν) – в случае плоской деформации; ν – коэффициент Пуассона; nx = cos⁡αx, ny = cos⁡αy – направляющие косинусы нормали к границе; αx, αy – углы между нормалью и осями x и y соответственно; px, py – заданные на поверхности тело нагрузки (напряжения).

Система из трех уравнений (1) и (2) с тремя неизвестными напряжениями σx, σy и τxy, с учетом граничных условий (3), позволяет определять напряженное состояние двумерной конструкции от заданной нагрузки на контуре Г и объемные силы, заданные внутри области Ω. В случае, когда объемные силы γx и γy постоянны, правая часть в (2) обратится в ноль, то можно заметить, что распределение напряжений в плоской задаче не зависит от свойств материала. Следовательно, уравнения (1) и (2), при γx,γy = const, могут применяться как при упругой, так и неупругой работе материала конструкции. Когда учитываются только силы тяжести, где γx = 0, γy = -ρg = -γ0, ρ – плотность материала, g – ускорение свободного падения, γ0 – объемный вес, решение плоской задачи упрощается введением новой функции φ(x,y) (функция Эри), которая связана с компонентами напряжения зависимостями

(4)

Видно, что выражения (4) удовлетворяют уравнения (1) при любых значениях функции φ(x,y), но действительным решением задачи будет то, которое удовлетворяет также уравнению совместности (2), представленное в виде

(5)

Подставив (4) в (5), получаем

(6)

Таким образом, решение двумерной задачи в напряжениях, когда объемной силой является вес тела, сводится к рассмотрению (6) с учетом граничных условий (3). Бигармоническое уравнение (6) представляет собой условие совместности деформаций, записанное через функцию напряжений φ(x,y). В общем, из решения (6) определяется φ(x,y), а затем поле напряжений вычисляются по формулам (4).

Если учесть, что любую бигармоническую функцию можно представить с помощью аналитических функций комплексного переменного

(7)

бигармоническое уравнение (1.6) можно представить в виде

(8)

которое имеет решение

(9)

где ϕ(z), ψ(z) – аналитические функции, ϕ ̄(z ̄), ψ ̄(z ̄) – функции, сопряженные с функциями ϕ(z) и ψ(z). Комплексное представление  перемещений и напряжений осуществляется по формулам

(10)

где ω = 3-4v, v – коэффициент Пуассона. В случае плоского напряженного состояния величину ω следует заменить на ω = (3-v)/(1+v), χ(z)=ψ'(z). Следовательно, решение задачи при заданных внешних напряжениях (1.3), приложенных на границе Г, сводится к отысканию в области Ω двух аналитических функций ϕ(z), ψ(z), связанных граничными условиями. Методы теории функций комплексного переменного, основанные на интегралах типа Коши и конформного преобразования, нашли применение в задачах механики  сплошной среды благодаря фундаментальным работам Г.В. Колосова, Н. И. Мусхелишвили, Л.Д. Галина, И.Н. Векуа, И.Н. Снеддон и др.

Если принять за основные неизвестные функции перемещения ux (x,y) и uy (x,y), то заменяя в дифференциальных уравнениях (1.1) компоненты напряжений через компоненты деформаций согласно обобщенному закону Гука, а затем с использованием геометрических уравнений Коши, представляя компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем систему дифференциальных уравнений в перемещениях (уравнения Ламе), которая в условиях плоской деформации записывается в виде

(11)

где G1=2G(1-ν)/(1-2ν),  G2=G/(1-2ν), G – модуль упругости при сдвиге. Заменив в (11) коэффициент Пуассона ν на ν/(1+v), получаем уравнения, соответствующие плоскому напряженному состоянию

(12)

здесь G1*=2G(1-ν), G2*=G(1+ν)/(1-ν). Следует отметить, что здесь нет необходимости в использования уравнении совместности деформаций (2), так как мы имеем два уравнения с двумя неизвестными ux (x,y) и uy (x,y).

В данной работе уравнения (11) и (12) будут использованы для составления граничных интегральных уравнений. Система уравнений (11) или (12), записанная для бесконечной области позволяет получать фундаментальные решения.

Фундаментальное решение системы уравнений (7), определяющее поле перемещений в неограниченной изотропной упругой среде от действия единичных сил ex и ey, строится на основе решения  Кельвина (Ляв, 1935). Решение Кельвина в условиях плоской деформации можно записать в виде

(13)

здесь a=1/8πG(1-ν), rpk=[(x-ξ)2+(y-η)2] – расстояние между точками k(x,y) и p(ξ,η), β1, β2 – углы наклона радиус-вектора rpk к осям x и y соответственно в точке p(ξ,η). Компоненты перемещений (13) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

(14)

где u*x=u*xx+u*xy, u*y=u*yx+u*yy, G1=2G(1-ν)/(1-2ν), G2=G/(1-2ν), G – модуль  упругости при сдвиге.

Граничные интегральные уравнения двумерных задач теории упругости можно получить исходя из тождества Сомильяна

(15)

здесь u*xx,...,p*yx фундаментальные перемещения и напряжения Кельвина. С учетом свойств дельта-функция Дирака

(16)

второй интеграл в правой части будет равняться ux (p), где точка p(ξ,η)∈Ω, тогда уравнение (1.21) можно представить в виде

(17)

где px,py – поверхностные напряжения, u*xx,  p*xx перемещения и напряжения, возникающие в точке k(x,y) в направлении оси x от действия единичной сосредоточенной силы, действующей по этой же оси, u*yx,  p*yx перемещения и напряжения, возникающие в точке k(x,y) в направлении оси y от действия единичной сосредоточенной силы, действующей по оси x. Индекс k в (17) подчеркивает, что переменным интегрирования по контуру являются координаты x,y. Формула (17) определяет перемещения по направления оси x в точке p(ξ,η) внутри области Ω при заданных значениях px,py, ux, и uy на контуре, а также объемных сил γx и γy в области Ω. Проведя аналогичную процедуру от действия единичной сосредоточенной силы, действующей по оси y, получаем

(18)

Граничные интегральные уравнения можно получить из (17) и (18) при предельном переходе, когда точка p(ξ,η) устремится к границе Г, а при этом точка k(x,y) находится на границе.

Таким образом, при переходе точки p(ξ,η) к границе области второй интеграл в (17) и (18) понимается в смысле главного значения по Коши, а остальные интегралы в обычном смысле. Следовательно, при p(ξ,η) ∈ Γ уравнения (17) и (18) преобразуются в граничные интегральные уравнения

(19)

(20)

Граничные интегральные уравнения (19) и (20) можно представить в матричной форме

(21)

где векторы перемещений, поверхностных напряжений и объемных сил представляются в виде

(22)

Симметричные матрицы коэффициентов, фундаментальных перемещений и напряжений записываются так:

(23)

U ̄* – матрица фундаментальных решений, компоненты которых соответствуют точкам внутри области Ω, в отличие от матрицы U*, где компоненты перемещений принадлежат границе Г.

Пример 4.7. Консольная балка-стенка с отверстием под действием горизонтальной нагрузки, равномерно распределенной по вертикальной грани (рис. 2). Применительно к этой задаче система алгебраических уравнений, полученная из системы граничных интегральных уравнений путем сплайновой аппроксимации нулевого порядка, представляется в виде

(24)

Здесь прямоугольные матрицы E1,F1,G1,H1 размера ne×n1, n1 – число элементов в опорной грани АВ, ne с общее число элементов, включая элементы на контуре отверстия. Матрицы A1,B1,C1,D1 – прямоугольные размера ne×n2, где n2 = ne-n1. Прямоугольные матрицы E2,F2,G2,H2, в зависимости от характера заданной нагрузки, могут иметь размер ne×n3, где n3≤n2. Вектор-столбцы Px и Py состоят соответственно из n1 и n2 элементов.

Рисунок 2 - Консольная балка-стенка

Примечание: а) - геометрия, б) - схема обхода контура

DOI:10.18454/mca.2023.40.2.2

На основе предлагаемого алгоритма разработана компьютерная программа на языке Фортран и получены результаты численного моделирования. Далее, переходим к анализу результатов, полученных методом граничных уравнений на примере квадратной пластинки с квадратным отверстием, где a1 = a3 = 0,3a, a2 = 0,4a, при разбивке 4×8+4×5=52. Из решения (24) определяются векторы искомых напряжений и перемещений, а затем можно приступить к вычислению нормальных и тангенциальных перемещений и напряжений.

В табл. 1 результаты напряженного состояния на опорной линии AB пластинки с отверстием сравниваются c аналогичными данными для пластинки без отверстия. В угловых точках A и B напряжения определены по квадратичной аппроксимации после предварительной интерполяции результатов, полученных для узлов сплайна. Сравнение показывает, что в пластинке с отверстием примерно в 1,5 раза увеличивается нормальное напряжение в угловой точке A и касательное напряжение в середине края.

На рис. 3 показан график изменения касательных напряжений на закрепленной грани AB для пластины с отверстием – кривая 1, и для пластины без отверстия – кривая 2. Видно, что наличие отверстия приводит к значительным изменениям в характере распределения касательных напряжений τxy.

Рисунок 3 - Изменение касательного напряжения по длине защемленного края квадратной балки-стенки

DOI:10.18454/mca.2023.40.2.4

На основе полученных результатов можно сделать вывод, что разработанные алгоритм численного моделирования на основе метода граничных уравнений и компьютерная программа позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние многосвязной области и могут быть использованы для расчета диафрагм жесткости многоэтажных зданий.